Potencjał poprzedniej notki się nieco wyczerpał, a dyskusja pod nią nie doprowadziła do rozwiązania o jakie pytałem. Wobec tego kontynuujmy. Przypominam, wychodzimy z sytuacji wktórej dwa pojazdy kosmiczne A i B mijają się z prędkością 0.5c, a po godzinie, pojazd A wysyła sygnał do pojazdu B. Kiedy ten drugi odbierze sygnał?
Skoro obowiązuje Zasada Względnośći, to możemy rozpatrzyć sytuację z punktu widzenia A, tak jakby był bezwzględnie nieruchomy. Albo odwrotnie. I nie powinniśmy otrzymać sprzecznych wyników.
Z pozycji A sprawa jest dość oczywista. Po upływie godziny, oddalający się pojazd B znajduje się w odległości 0.5h światła. D = v * t0. Wysłany sygnał radiowy "goni" od tego momentu B zbliżając się do niego (wciąż z perspektywy A) w tempie 0.5c (c-v). Zanim go dogoni minie czas równy godzinie. v * t0/(c-v). Mamy więc odpowiedź. Sygnał dotrze do B po upływie godziny od wysłania, a dwóch godzin od minięcia się pojazdów. Czyli na zegarze B będzie godzina 2h::00m.
Zaraz, zaraz. Rozpatrywaliśmy sytuację z punktu widzenia A. Więc z całą pewnością, taka godzina będzie na zegarze A gdy sygnał dotrze do B. Ale czy to oznacza że zegar B pokaże to samo? Przemyciliśmy tu dodtkowe, (trzecie!) założenie o bezwzględnym czasie. Ale jest ono tak zdrowo rozsądkowe i intuicyjne, że na razie je zostawimy.
Teraz rozpatzrymy sytuację z punktu widzenia B. On stoi, a A oddala się od niego. Sytuacja symetryczna. Po godzinie, kiedy A ma wysłać sygnał, A jest w odległości 0.5h światła. Sygnał radiowy, wysłany z takiej odległości zbliża się do B (z jego perspektywy) z prędkością c. Tu znów używamy drugiego postulatu. Wobec tego, sygnał przebędzie dystans po pół godzinie. Czyli w momencie dotarcia, na zegarze B będzie 1h::30m. Mamy sprzeczność.
Rozumowaniu niczego nie można zarzucić. WIęc aby pozbyć się sprzeczności musimy uznać, że część z postulatów/założeń (a może wszystkie) jest błędnych. Chcieliśmy analizować sytuację używając tylko dwóch postulatów, a w trakcie dołożyliśmy trzeci, o bezwzględnym upływie czasu. Spróbujmy więc zrezygnować najpierw z niego.
Skoro z pozycji A uzyskaliśmy wynik 2h::00m a z pozycji B wynik 1h::30m, to żaden z nich nie może być poprawny, bo wyróżniałoby to któregoś z obserwatorów. A i B przeprowadzając analizę, muszą otrzymać ten sam wynik. A ma całkowitą rację - po dotarciu sygnału, na JEGO zegarze będzie 2h:00m. Ale jeśli przyjąć że poruszający się zegar może mieć inne tempo, to na B zegar pokaże inny czas. Spróbujmy przyjąć, że czynnik skalujący jest liniowy. Jeśli na A jest 2h:0m, to na B będzie 2 * g, gdzie g to nieznany czynnik skalujący.
Teraz B. On przemycił założenie o bezwzględnym czasie przyjmując, że w momencie wysłania sygnału, kiedy na A zegar pokazywał 1h:0m, to u niego było tak samo. Ale jeśli tempo zegarów jest inne, to zegar A jest symetrycznie przeskalowany w stosunku do B. Więc jeśli na B upłynęło x to na A upłynie x * g. Na A upłynęła 1h, czyli na B upłynęło 1/g. Czyli A znajdował się wówczs w odległości 1/g * 0.5c a sygnał potrzebował na dotarcie 0.5c/(g*c). W momencie dotarcia, zegar B pokaże 1/g + 0.5/g. = 1.5/g. Tyle wychodzi z obliczeń B. Czy da się wynik pogodzić z obliczeniami A? Tzn. czy da się dobrać takie g, że A i B licząc tak jak dotychczas, otrzymają zgodny wynik. Zobaczmy.
2 *g = 1.5/g
g2 = 0.75
g= 0.86
Stąd szukany czas wg. OBYDWU układów wynosi 1.72h czyli 1h::43m w zaokrągleniu.
Co to oznacza? Ni mniej ni więcej, że przyjmując równoważność obserwatorów i stałą prędkość światła mierzoną przez każdego z nich, musimy odrzucić bezwzględność czasu i uznać jego dylatację, zależną od prędkości względnej obserwatorów. Jeśli zamiast konkretnych wartości użyjemy symboli, wzór na czynnik g będzie:
g = sqrt(1- v2/c2)
